La teoria dell’utilità attesa: significato e definizione

aprile 1st, 2013 | Posted by Igor Vitale in Marketing

fig2LA TEORIA DELL’UTILITA’ ATTESA: significato e definizione

Di Ilaria Polidori

Secondo questa teoria, gli individui, invece di massimizzare il valore monetario atteso, massimizzano l’utilità attesa corrispondente a ciascun valore monetario. L’utilità attesa si calcola sostituendo l’utilità al valore monetario nella formula del valore atteso.

Torniamo all’esempio del malato. (leggilo qui) Qualsiasi cifra inferiore ai 100 milioni non ha per lui alcuna utilità. Quindi l’utilità di 40, 60, 80, e così via è nulla. Poniamo invece che l’utilità dei 100 milioni sia pari a 1.

L’utilità attesa (EU) nel caso in cui si scelga la prima lotteria è quindi pari a:

EU1 = utilità del reddito 60 x probabilità del reddito 60 + utilità del reddito 40 x probabilità del reddito 40 = 0 x 0.5 + 0 x 0.5 = 0

L’utilità attesa della seconda lotteria è:

EU2 = utilità del reddito 1 x probabilità del reddito 1 + utilità del reddito 100 x probabilità del reddito 100 = 0 x 0.99 + 1 x 1 = 1

Individui diversi hanno funzioni di utilità diverse e quindi preferenze diverse rispetto alla stessa scelta. Rispetto al calcolo del valore atteso, in questo caso ponderiamo con la probabilità, non l’incasso monetario, ma l’utilità garantita da quell’incasso. Il criterio è analogo, ma tiene conto delle caratteristiche dell’individuo.

Il punto cruciale della teoria è che non necessariamente la classificazione in base al valore atteso rispecchia quella delle preferenze, nel senso che i valori attesi degli esiti delle diverse alternative, possono non avere il medesimo ordinamento di preferenze delle utilità attese delle alternative.

Tali differenze negli ordinamenti di preferenze sono possibili in quanto l’utilità non sempre è una funzione lineare della ricchezza e ciò dipende in maniera determinante dalle attitudini del soggetto, cioè se egli sia più o meno propenso al rischio. Quest’ultima, è una caratteristica che esula del tutto da motivazioni di ordine congetturale, poiché infinite possono essere le variabili che inducono un soggetto ad essere in un modo o in un altro (certi individui possono essere talmente poveri da giudicare di “non avere nulla da perdere”, e quindi rischiare molto; altri possono decidere di scommettere per un motivo del tutto opposto, e cioè per avere tanto di quel denaro da “poter permettersi di perderlo”).

Indipendentemente dalle motivazioni però, la funzione di utilità di questi individui è differente, a seconda che essi siano propensi o non al rischio. Cominciamo da questi ultimi.

Un individuo avverso al rischio ha una funzione di utilità concava rispetto alla ricchezza, il che vuol dire che quando la ricchezza aumenta, l’utilità aumenta meno che proporzionalmente.

Si dice anche che essa è caratterizzata da un’utilità marginale decrescente.

Gli individui avversi al rischio, rifiuteranno sempre di partecipare ai cosiddetti giochi equi, cioè giochi il cui valore atteso è pari a 0.

Ciò è spiegabile proprio con la particolare forma che assume la funzione di utilità ad essi relativa. Ecco un esempio di gioco equo:

Si vincono $30 se esce testa, si perdono $30 se esce croce. Il

valore atteso è:

EV = ½ (30) + ½ (-30) = 0

Come è intuibile, in un gioco equo, il valore atteso della ricchezza se si accetta la scommessa è uguale al valore certo della ricchezza nel caso in cui si rinunci a giocare. In quest’ultimo caso,

il livello di utilità sarà pari a U(40), pertanto è chiaro che si dovrà accettare la scommessa solo se l’utilità attesa di essa sarà maggiore di U(40).

Ebbene l’utilità attesa di una persona avversa al rischio, sarà sempre inferiore all’utilità di non giocare.

Andiamo a vedere graficamente il perché di questa affermazione:

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FIG. 1: PERSONA AVVERSA AL RISCHIO

Un punto sull’arco di una funzione concava giace sempre sopra il corrispondente punto sulla corda: l’utilità attesa di un gioco equo sarà sempre minore all’utilità di non giocare

Osservando la figura, i punti A e C, sono i punti che coincidono, rispettivamente, con la sconfitta e con la vittoria nel gioco. La corda che unisce A e C rappresenta tutte le possibili utilità attese dei giochi che prevedono in alternativa redditi pari a 10 e a 70. A seconda della probabilità di ciascuna delle due alternative, la sconfitta genera un livello di utilità U(70) pari a 57. Pertanto l’utilità attesa della scommessa sarà:

EU = ½ (25) + ½ (57) = 41

Si osservi come questo valore corrisponde, sulla corda, al punto tra A e C che si trova esattamente al di sopra del valore atteso della ricchezza, in caso di accettazione della scommessa (ossia 40).

Utilità Attesa

Ma, a prescindere da questo, è lampante come l’utilità attesa della scommessa, pari a 41, è di gran lunga inferiore all’utilità di non parteciparvi, che risulta essere nel grafico, pari a 50. Ed il risultato appare ovvio: un punto sull’arco di una funzione concava giace sempre sopra il corrispondente punto sulla corda. Del tutto rovesciata appare la situazione, per quanto riguarda le persone propense al rischio: la loro funzione di utilità sarà convessa, pertanto avverrà che ogni arco della funzione si troverà al di sotto della corda corrispondente, con la conseguenza che l’utilità attesa di un gioco equo sarà sempre maggiore all’utilità di non partecipare: le persone propense al rischio partecipano sempre ai giochi equi.

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FIG. 2: PERSONA PROPENSA AL RISCHIO

La funzione di utilità è convessa rispetto alla ricchezza totale. Ogni arco di una funzione convessa si trova al di sotto della corda corrispondente. L’utilità attesa di un gioco equo sarà sempre maggiore all’utilità di non partecipare

Infine, è anche ipotizzabile una situazione psicologica intermedia, relativa alle persone con atteggiamento di neutralità rispetto al rischio.

La funzione di utilità di costoro è lineare e per essi è del tutto indifferente partecipare o meno ad un gioco equo.

fig3

FIG. 3: NEUTRALITA’ NEI CONFRONTI DEL RISCHIO

L’utilità attesa del gioco è uguale all’utilità certa di non giocare. Il giocatore è indifferente nell’accettare o meno un gioco equo.

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