Probabilità e valore atteso: una definizione
Probabilità e valore atteso: una definizione
PROBABILITA’ E VALORE ATTESO
Abbiamo fin qui parlato di probabilità, senza però darne una definizione.
La probabilità di un evento è una misura della possibilità che esso si verifichi.
Un evento certo ha una probabilità pari ad 1 (o pari al 100%), un evento che non ha nessuna possibilità di verificarsi, ha una probabilità pari a 0 (Felli). Anche la somma delle probabilità di tutti
gli eventi possibili è pari ad 1 (o pari al 100%), perché è certo che uno di questi eventi si realizzerà.
Il concetto di probabilità assume un ruolo centrale nella teoria della scelta in condizioni di incertezza, hanno la natura dei giochi d’azzardo. Ora, in genere, si hanno diverse idee intuitive di ciò che rende conveniente un gioco d’azzardo (anche se molte, come vedremo, si rivelano spesso fallaci). Una caratteristica importante di qualsiasi gioco d’azzardo, è il suo valore atteso (Expected Value), per calcolare il quale è necessario conoscere le probabilità che ciascun esito si verifichi.
Il valore atteso di un gioco d’azzardo indica quale sarà l’ammontare medio delle vincite nette.
Ad esempio, consideriamo una scommessa in cui si ha la possibilità di vincere 100$ se viene testa e di perdere 0.5$, se viene croce.
Il valore atteso, si ottiene moltiplicando ciascun valore per la rispettiva probabilità e sommando quindi i risultati di ciascun prodotto ottenuto.
Quindi, poiché la probabilità che esca testa o che esca croce
è di ½ si avrà:
EV: ½ ($100) + ½ (-$0.5) = $49.75
Ciò che rende conveniente partecipare ad una scommessa, è che abbia un valore atteso anzitutto positivo, e, in secondo luogo, superiore al costo da sostenere per parteciparvi. Tuttavia, per non incorrere in errori di valutazione, è bene tener presente che il valore atteso è solo una media di quello che potranno essere le vincite, partecipando al gioco più volte, pertanto, partecipando al gioco una sola volta, è improbabile che si vinca la cifra prevista dal valore atteso (anzi, il più delle volte è impossibile).
Inoltre, il valore atteso non è l’unico elemento da tenere in considerazione quando ci si trova davanti ad una scelta in condizioni di incertezza. Si pensi ad esempio ad una scommessa analoga a quella precedente, in cui però, se viene testa si vincono 20.000$, se viene croce si perdono 30.000$. Qui, nonostante il valore atteso della scommessa, sia più alto che nella precedente (EV=5.000$), molti individui non accetterebbero di giocare, semplicemente perché non avrebbero la possibilità economica di far fronte ad una perdita tanto ingente. Ma i criteri monetari non sono le uniche variabili a rappresentare l’interesse di un individuo. Si consideri un esempio tratto (e adattato) da Schotter (1997):
Un malato esce dalla visita del medico con una drammatica notizia: se non verrà operato entro 24 ore morirà certamente. L’operazione costa però 100 milioni. Il malato non dispone di quella cifra. Non ha amici o parenti che possano prestargli la somma. Mentre cammina per strada incontra una
persona che gli offre la possibilità di partecipare a due lotterie. La lotteria A gli offre la possibilità di vincere 40 milioni con probabilità 50% e 60 milioni con probabilità 50%. La lotteria B gli offre la possibilità di vincere 1 milione con probabilità 99% e 100 milioni con probabilità 1%.
La lotteria A ha un valore atteso molto più alto (pari a 50 milioni) della lotteria B (pari a 1.99 milioni). E’ però chiaro che se il nostro malato scegliesse il gioco A morirebbe certamente, in quanto non riuscirebbe a disporre della cifra necessaria all’operazione. Scegliendo la lotteria B ha invece una probabilità (per quanto molto ridotta) di ottenere la cifra necessaria alla sua salvezza.
E’ chiaro che qui l’interesse economico è solo strumentale ad un interesse ben superiore: far salva la pelle.
Da ciò bisogna concludere che, in condizioni di incertezza, non è sufficiente considerare il valore monetario atteso. E’ necessario un criterio decisionale che tenga conto degli interessi e delle caratteristiche dell’individuo.
Fu proprio questo il nodo centrale della teoria economica formulata alla fine degli anni ’40 da John Von Neumann dell’Institute for Advanced Studied e Oskar Morgestern dell’Università di Princeton: essa ipotizza che gli individui effettuino le scelte valutando l’utilità attesa di ciascuna alternativa.
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